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小 發表於 2019-4-7 04:12 PM (第 1839 天)
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個post 都好多日，唔知你解決左未。我即管講下我�H意見。
呢個表面上係積分問題，但其實係函數性質問題。
呢題積分用到�H三角函數代換其實係有前提／假設的。首先條 Definite Integral �H Range/Direction of Integration 係有方向同數值範圍的，係由－１到＋１，我地想用一個三角函數去代換題中的 x，我地揀�H呢個函數唔能夠違返題目設定�H方向。
具體黎講 x 呢個變數由－１增加到＋１係 strictly increasing ，咁我地亦只能代換一個 strictly increasing �H函數。問題就黎喇，我地想用�H Sin[\theta] 係個周期性函數，一時 increasing 一時 decreasing，所以我地要透過設定 \theta �H取值範圍黎令到 Sin[\theta] 在呢個 Range 入面係表現出 strictly increasing �H性質。
參考下 Sin[\theta] �H圖你會發現符合條件�H範圍其實有好多：例如一般教科書用�H －Ｐｉ/２到＋Ｐｉ/２，又或者，３Ｐｉ/２到＋５Ｐｉ/２。但若你取�H範圍係由Ｐｉ/２到３Ｐｉ/２，佢係相反：一個 strictly decreasing �H Period。
可能你會話你正係利用積分有方向呢個性質，由３Ｐｉ/２積返去Ｐｉ/２，咁呢個方向就係嚴格上升，最後個答案應該一樣，你計到多左個負，可能問題出在拆絕對值符號：
原本應該係咁：
Integrate[ Sqrt[1-x^2], -1, 1]
=Integrate[ Abs[ Cos[ \theta] ] Cos[ \theta], -Pi/2, Pi/2]
=Integrate[ Cos[ \theta] ^2, -Pi/2 Pi/2]
如果咁計：
Integrate[ Sqrt[1-x^2], -1, 1]
=Integrate[ Abs[ Cos[ \theta] ] Cos[ \theta], 3Pi/2, Pi/2]
=Integrate[ - Cos[ \theta] ^2, 3Pi/2 Pi/2]
= - Integrate[ Cos[ \theta] ^2, 3Pi/2, Pi/2]
在呢個range 入面 Cos[ \theta] 係負數，第一個 Cos[ \theta] 取絕對值要加負號先啱。
你可能唔係多左個負，係少左個負，負負得正先係正確答案。
利申：好耐無計數，希望我�H概念無錯。（伸脷）
[ 本帖最後由 carnotsincos 於 2019-4-7 05:09 PM 編輯 ]
